Probabilidad: ¿Ganarte el Melate o que te caiga un Rayo?

May 21, 2010
Jugué el Miércoles Melate por Internet y me gané casi cinco mil pesos. Me dió gusto pero inmediatamente decidí que quería comprar un boleto con 10 números ($4,200 pesos y 210 combinaciones) porque los premios principales no habían salido aún. Mientras escribo esto el Melate tiene 395 millones de pesos ($30 millones de dólares) entre ambos sorteos (Melate $209 millones y Revancha $186). Es una buena cantidad y sin duda una cantidad por la que vale la pena jugar.

Sin embargo, me acordé de un chiste viejo que dice que “el Melate es el impuesto para los que no saben matemáticas.” Ese chiste lo cuento a menudo por lo que me entró la duda de cuál sería la probabilidad de sacarme el sorteo comprando 210 combinaciones y me puse a sacar algunas estadísticas. Luego busqué algunas relaciones de eventos improbables para compararlos; el resultado me pareció muy divertido!

Mi primera pregunta inicial era cuál es la probabilidad de ganar el Melate al comprar un boleto con seis números.

El cálculo de la probabilidad en un sólo boleto con seis números es:

  1. La probabilidad de que uno de mis 6 números esté entre los ganadores: 6 números en 56, que es igual a 6/56 y que representa una probabilidad de 10.7% de atinarle a un número de 6 (0.107142857).
  2. Atinarle al segundo número equivale a que uno de los otros cinco números restantes que escogí salga premiado dentro de los 55 números que hay disponibles. Es decir 5/55 = 9% (0.090909091).
  3. Pero si quiero saber la probabilidad de que ambos salgan al mismo tiempo, esto es, la probabilidad de atinarle a dos números en el Melate, tenemos que multiplicar ambas probabilidades.  Resulta que mi probabilidad de atinarle a dos números está debajo de 1% (10.7% x 9% = 0.97% (0.00974026).
  4. Si continuamos con esta lógica, (56/6 * 55/5 * 54/4),  la probabilidad de atinarle a 3 números es de 0.072%, o lo que es lo mismo: 1 en 1,386.
  5. Atinarle a 4 números es 1/24,486 y de atinarle a 5 números es de 1 en 636,636.
  6. Finalmente, atinarle a 6 números que está calculado como (56/6 * 55/5 * 54/4 * 53/3 * 52/2 *51/1) es igual a una probabilidad de 1 en 32,468,436.

Por lo que, ganarse el Melate, comprando una combinación de 6 números, tiene una probabilidad de 1 en 32.5 millones. Eso en comparación con otros eventos:

  • Morir de un ataque cardíaco:  5,000,000 de veces más probable que ganarte el Melate.
  • Casarte con un millonario: 151,000 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Escribir un New York Times best seller: 147,000 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Tener un hijo genio: 130,000 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Volverte millonario con un negocio propio:  32,000 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Morir en la regadera o en la tina: 14,500 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Tirar en el golf un hoyo en uno:  6,500 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Ganar un Oscar de la Academia: 2,800 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Morir en un accidente automovilístico: 1,700 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Morir ahogado: 411 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Que tu novia sea una super-modelo: 369 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Morir en un accidente de avión:  92 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Que te caiga un rayo: 56 veces más probable que ganarte el Melate.
  • En poker te salga una corrida imperial al recibir tu primera mano: 50 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Ganarte una medalla olímpica:  49 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Volverte millonario ahorrando $10 mil pesos al mes por treinta años:  27 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Ser el Presidente del México: 5 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Ser canonizado y volverte un santo: 2 veces más probable que ganarte el Melate.
  • Ganarte el Melate tiene la misma probabilidad que morir de un ataque de un puma en California (Mountain Lion).
  • Ganarte el Melate tiene la misma probabilidad que contagiarte de la versión humana del virus de la vaca loca.
  • Ganarte el Melate tiene la misma probabilidad de que tengas un IQ de 186 (en cuyo caso no jugarías al Melate!!)

Lo único que encontré más improbable (10 veces más) es morir de un ataque de tiburones;  tiene una probabilidad de uno en 300 millones.

Por lo que mi conclusión inicial es que deberíamos casarnos con un millonario(a), jugar golf, evitar bañarnos, ir a las olimpiadas, contender para presidente, esperar ser un santo y nadar con tiburones; todo ello antes de intentar ganar el melate!

Por otro lado, mi duda real era cómo mejoraban mis probabilidades si compraba un boleto con 10 números o (210 combinaciones).

Usando cualquier de estas dos fórmulas llegamos al mismo resultado:

  • (10/56  *  9/55  *  8/54  *  7/53  *  6/53  *  5/52  *  4/51)  =     1 / 154,611
  • (32,468,436 / 210) =  1 / 154,611

Al comprar 210 combinaciones o 10 números en un sólo boleto, tenemos una probabilidad 210 veces mejor que equivale a una probabilidad de 1 en 154,611.

Si consideramos también jugar Revancha que tiene una bolsa igualmente atractiva en este momento, la probabilidad de ganar alguno de los dos sorteos es de 1 en 77,306.

Esta probabilidad de ganar el Melate o la Revancha con un boleto de 10 números equivale a la probabilidad de salir con una super-modelo. (Lo cual no considera la correlación ni la causalidad ya que uno puede llevar al otro y no vice-versa).  Por otro lado, es 4 veces más probable que morir en un accidente aéreo. ¿Eso nos debería dar esperanzas?

La última pregunta que tenía era que tanta es la ventaja de comprar todas las combinaciones en un sólo sorteo (210 combinaciones) vs. comprar un boleto en 210 sorteos (dos años de sorteos). La probabilidad es casi la misma:

  • La probabilidad de ganar el Melate comprando un boleto con 10 números y 210 combinaciones es de 1 en 77,305.80
  • La probabilidad de ganar el Melate comprando un boleto con una combinación de 6 números durante 210 sorteos es de 1 en 77,306.05

La probabilidad se reduce para este caso particular en 0.25, esta diferencia es tan pequeña que creo es despreciable para la toma de decisión.

Lo que sí es importante es el monto total del premio mayor. El promedio del premio en otros sorteos anteriores y subsecuentes ha sido y muy probablemente será mucho menor. Lleva varios meses sin que nadie se lo gane para que llegue a los niveles actuales. Por lo que es mucho mejor, desde el punto de vista de retorno, (en el caso super-improbable de que uno se lo ganara), comprar todas las combinaciones en un sólo premio cuando llegue a niveles altos, esto es particularmente cierto cuando los dos premios están altos como es el caso en este momento.

Conclusión: Es una estupidez jugar Melate, sin embargo, aún así voy a jugar mis 210 combinaciones que muy muy muy probablemente perderé!